ZENÓN (490 A.C.- 430 A.C.)
Zenón trató de
mostrar que la realidad es una e invariable y que todo movimiento es ilusorio.
Era costumbre suya mostrar lo absurdo de algunas creencias y
frecuentemente se valía de paradojas (expresión o situación que parece absurda
y sin embargo es razonable), en las que viene a decir que todo movimiento es un
engaño. Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra el
movimiento, se revelan al
punto como paradojas y como auténticos paralogismos (argumento o contradicción falsa). Es como
ponerse a discutir el azul del cielo.
Una
de las más famosas paradojas es la de Aquiles y la tortuga.
PARADOJA DE
AQUILES Y LA TORTUGA
Supongamos, decía Zenón, que Aquiles, que corre
cinco veces más rápidamente que una tortuga, juega con ella una carrera dándole
una ventaja de cinco kilómetros.
Cuando Aquiles recorra esos cinco kilómetros, la
tortuga habrá avanzado un kilómetro. Cuando Aquiles cubra ese kilómetro que lo
separa ahora de su contrincante, ésta habrá caminado a su vez un quinto de
kilómetro, es decir, doscientos metros. Pero cuando Aquiles trate de alcanzarla
corriendo esos doscientos metros, la tortuga habrá recorrido cuarenta metros. Y
una vez que Aquiles salve esos cuarenta metros, con la esperanza de alcanzarla,
la tortuga habrá avanzado ocho metros, y todavía le llevará ventaja. Una
ventaja que disminuye sin cesar, pero que siempre está, porque cada vez que
Aquiles recorre la distancia que lo separa de la tortuga, ésta, en ese lapso de
tiempo, se habrá movido algo, por poco que sea, y en consecuencia, lleva
siempre la delantera. Conclusión: Aquiles nunca la alcanza.
El planteamiento de Zenón era muy agudo y el
asunto de Aquiles y la tortuga fue un dolor de cabeza para la matemática y la
filosofía griegas. Dado que es muy fácil constatar que, no sólo Aquiles, sino
cualquiera alcanza efectivamente a una tortuga, el razonamiento de Zenón tenía
que esconder una equivocación. Pero ¿cuál? La respuesta tardó la friolera de
veintiún siglos en llegar. Y la verdad es que para la matemática griega los
problemas de Zenón eran irresolubles porque
involucraban sumas infinitas.
Efectivamente, los recorridos sucesivos de
Aquiles son: cinco kilómetros, un kilómetro, doscientos metros, cuarenta metros,
ocho metros, etc... y los correspondientes de la tortuga son un kilómetro,
doscientos metros, cuarenta metros, ocho metros, un metro… Para calcular el
recorrido total de uno y de otra, habría que sumar todos esos tramos sucesivos.
Pero como son infinitos, la suma, aparentemente no puede hacerse.
Hubo que esperar hasta el siglo diecisiete,
cuando el matemático escocés James Gregory (1638-1675) estudió por primera vez y de
manera sistemática la herramienta necesaria
para terminar con el dilema de Zenón: las series convergentes, sumas que a pesar
de tener un número infinito de términos, dan como resultado un número finito.
Por ejemplo, la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +
1/32 + 1/64 +..., puede hacerse, y da exactamente 1 (pues son términos de una
progresión geométrica de razón 1/2).
Así pues, si sumáramos los infinitos tramos:
- Los de Aquiles: 5 kilómetros + 1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros...)
- Los de la tortuga (1 kilómetro + 200 metros + 40 metros + 8 metros + 1,60 metros +...)
obtendríamos, para Aquiles 6,25 kilómetros, y
para la pobre tortuga 1,25
kilómetros. Como Aquiles le había dado 5 kilómetros de
ventaja, al recorrer uno 6,25 y la otra 1,25 kilómetros,
coinciden en el mismo punto. Gracias a las series convergentes, la famosa
paradoja de Zenón quedó aclarada y Aquiles alcanzó a la tortuga de una buena
vez. Lo cual era justo, después de perseguirla durante más de dos mil años.
En el siguiente video puedes ver de forma gráfica cuándo y dónde alcanzará Aquiles a la Tortuga. Poniendo una velocidad cualquiera a ambos. Video: Aquiles y la Tortuga
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